Mads Bidstrup s'est engagé avec l'OL jusqu'en 2031 pour 10,5 millions d'euros et 3 millions d'euros de bonus.
A 25 ans, le milieu de terrain a été formé au Danemark, avant de poursuivre sa progression en Allemagne puis en Angleterre. C'est à Brentford qu'il a débuté sa carrière professionnelle, participant à la montée du club en Premier League à l’issue de la saison 2020/2021.
L'année suivante, il retourne au Danemark, pour évoluer au FC Nordsjælland, aux côtés d’un certain… Ernest Nuamah, avant de rejoindre le RB Salzbourg à l’été 2023.
En Autriche, le joueur franchit un nouveau cap. A Salzbourg, il dispute 116 matches en trois saisons, découvre la Ligue des Champions et est appelé pour la première fois en sélection danoise. Il retrouvera d'ailleurs à Lyon Noah Nartey avec qui il a joué en Espoirs.
A Lyon, Mads Bidstrup devra mettre à profit son volume de jeu, son intensité et son impact pour s'imposer au milieu de terrain.